Das Summensymbol Σ – Kompakte Darstellung von Summen

Das Summensymbol, dargestellt durch den griechischen Großbuchstaben Sigma (Σ), ist eine standardisierte Methode, um die Addition vieler Summanden präzise und übersichtlich zu notieren. Es ersetzt informelle Darstellungen wie 1 + 2 + ... + 8, die potenziell mehrdeutig sind.

Aufbau der Summenschreibweise

Die Schreibweise ∑k=nm a(k) enthält folgende Bestandteile:

• Summenzeichen (Σ): Das zentrale Symbol der Darstellung.
• Funktionsterm (a(k) oder a_k): Ausdruck, der für jeden Wert von k berechnet wird.
• Laufvariable (k): Variable, die unter dem Summenzeichen steht und über die summiert wird.
• Startwert (n): Der erste Wert, den die Laufvariable annimmt.
• Endwert (m): Der letzte Wert, den die Laufvariable annimmt.

Funktionsweise

Die Laufvariable k durchläuft nacheinander alle ganzzahligen Werte von n bis m. Für jeden dieser Werte wird a(k) berechnet. Alle Ergebnisse werden addiert.

Beispiel 1 – Quadratsumme

∑k=15 k² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55

Beispiel 2 – Verständnisübungen

• ∑k=16 k ergibt 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
• ∑k=15 23 ergibt 23 + 23 + 23 + 23 + 23
• ∑k=13 k³ ergibt 1³ + 2³ + 3³ = 36

Rekursive Definition der Summe

• Rekursionsschritt: ∑k=mn a(k) = ∑k=mn−1 a(k) + a(n)
• Rekursionsanfang: Für n < m gilt: leere Summe = 0

Rekursive Berechnung – Beispiel

Rekursive Auswertung von ∑k=13 k³:

• ∑11 k³ = 0 + 1³ = 1
• ∑12 k³ = 1 + 8 = 9
• ∑13 k³ = 9 + 27 = 36

Alternative Schreibweisen

Manche Summen verwenden Bedingungen statt fester Grenzen. Beispiel:

∑k+l=3 k · l = 0·3 + 1·2 + 2·1 + 3·0 = 4

Die Summe wird über alle gültigen Wertekombinationen berechnet, die die Bedingung erfüllen.

Erweiterungen

• Produktschreibweise (Π): Funktioniert analog zur Summe, verwendet aber Multiplikation.
• Doppelsummen und Doppelprodukte: Geschachtelte Summen bzw. Produkte, z. B. über zwei Laufvariablen.

Multiple-Choice-Quiz: Teste dein Wissen

1. Was bedeutet das Summensymbol ∑ allgemein?

A: Subtraktion über mehrere Terme
B: Aufsummieren von Ausdrücken gemäß einem Indexlauf
C: Multiplikation über mehrere Terme

2. Was ergibt die Summe ∑_k=1³ (k²)?

A: 14
B: 9
C: 1 + 4 + 9 = 14

3. Wann ist eine Summe leer (ergibt 0)?

A: Wenn der obere Index kleiner ist als der untere
B: Wenn alle Summanden negativ sind
C: Wenn nur eine Konstante summiert wird

4. Welche Aussage über doppelte Summen ist korrekt?

A: Die Reihenfolge spielt immer eine Rolle
B: Bei reellen Zahlen darf man sie oft vertauschen
C: Doppelsummen sind nur bei Matrizen erlaubt

Antworten zur Selbstkontrolle

• 1: Nur B ist korrekt.
• 2: C ist korrekt. 1 + 4 + 9 = 14
• 3: A ist korrekt.
• 4: B ist korrekt.