Wie man Matrizen multipliziert

Die Matrizenmultiplikation ist eine grundlegende Operation in der linearen Algebra, die es ermöglicht, zwei Matrizen zu einer neuen Matrix, dem sogenannten Produkt, zu verknüpfen.

Grundlagen

Um zwei Matrizen A und B miteinander multiplizieren zu können, muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix A gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix B sein. Ist A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix, so ist das Produkt AB definiert. Die resultierende Matrix C ist dann eine m×p-Matrix.

Berechnung eines Eintrags

Jeder Eintrag cik der Matrix C wird durch das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B berechnet:

cik = ∑j=1n aij · bjk

Beispiel

Gegeben sind zwei Matrizen:

A = (1 0 2)
    (3 1 2)

C = (1 0)
    (2 1)
    (3 1)

Überprüfung: A hat 3 Spalten, C hat 3 Zeilen. Die Multiplikation ist also möglich. Das Ergebnis P = A·C ist eine 2×2-Matrix.

Berechnung der Einträge

p11 = 1·1 + 0·2 + 2·3 = 7
p12 = 1·0 + 0·1 + 2·1 = 2
p21 = 3·1 + 1·2 + 2·3 = 11
p22 = 3·0 + 1·1 + 2·1 = 3

Die Produktmatrix lautet also:

P = (7 2)
    (11 3)

Eigenschaften

• Assoziativität: Für geeignete Matrizen A, B, C gilt: A·(B·C) = (A·B)·C
• Nicht-Kommutativität: Im Allgemeinen gilt: A·B ≠ B·A