Elementare Zeilenumformungen

Elementare Zeilenumformungen sind fundamentale Werkzeuge der linearen Algebra. Sie dienen dazu, Matrizen durch einfache, aber mächtige Operationen in eine handhabbare Form zu bringen – etwa die Zeilen-Stufen-Form (ZSF) oder die reduzierte Zeilen-Stufen-Form (rZSF). Diese Verfahren sind essenziell für das Lösen linearer Gleichungssysteme, den Gauß-Algorithmus und die Untersuchung von Rang und Lösbarkeit, da sie zentrale strukturelle Eigenschaften der Matrix bewahren.

Typen elementarer Zeilenoperationen

Es gibt drei elementare Typen von Zeilenumformungen:

• Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ≠ 0:
  Jeder Eintrag einer bestimmten Zeile wird mit einem Skalar λ ≠ 0 multipliziert.
  Darstellung durch eine Elementarmatrix: Si(λ) = I + (λ - 1)·Eii
  Anwendung: Si(λ)·A skaliert die i-te Zeile von A.
• Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen:
  Das λ-fache der j-ten Zeile wird zur i-ten Zeile addiert.
  Darstellung durch eine Elementarmatrix: Qji(λ) = I + λ·Eji
  Anwendung: Qji(λ)·A modifiziert die i-te Zeile durch Hinzufügen der j-ten Zeile multipliziert mit λ.
• Vertauschung zweier Zeilen:
  Die i-te und j-te Zeile werden getauscht.
  Darstellung durch eine Permutationsmatrix: Pji = I - Eii - Ejj + Eji + Eij
  Anwendung: Pji·A vertauscht die betroffenen Zeilen.

Eigenschaften und Anwendungen

• Elementarmatrizen: Jede elementare Zeilenoperation entspricht einer Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix. Die Gruppe der invertierbaren Matrizen GLn(K) wird von diesen erzeugt.
• Reversibilität: Jede Elementarmatrix ist invertierbar, ihre Inverse ist wieder eine Elementarmatrix desselben Typs.
• Rang- und Zeilenraumerhaltung: Zeilenumformungen verändern den Zeilenraum und damit den Rang der Matrix nicht.
• Gauß-Algorithmus: Jede Matrix lässt sich durch endliche Anwendung von Zeilenumformungen in eine eindeutig bestimmte reduzierte Zeilen-Stufen-Form überführen.
• Spaltenoperationen: Analog gibt es auch elementare Spaltenumformungen – diese wirken durch Multiplikation von rechts mit Elementarmatrizen.