Was sind Junktoren?

Junktoren sind grundlegende Symbole der Aussagenlogik. Sie verbinden Aussagen miteinander, um neue, zusammengesetzte Aussagen zu bilden. Das Wort „Junktor“ stammt vom lateinischen „iungere“ – verbinden. In gewisser Weise entsprechen sie Bindewörtern wie „und“ oder „oder“ in der Alltagssprache, jedoch mit exakt definierter Bedeutung.

Junktoren vs. natürliche Sprache

Im Gegensatz zu alltäglichen Bindewörtern besitzen Junktoren eine eindeutige semantische Definition. Das ist essenziell für logisches und mathematisches Arbeiten, da Unschärfen ausgeschlossen werden müssen. Junktoren verknüpfen ausschließlich vollständige Aussagen – keine Satzfragmente.

Verwendung von Platzhaltern

In der Logik werden Aussagen oft durch Buchstaben wie A, B oder C repräsentiert. Junktoren verknüpfen diese Platzhalter und erzeugen neue Aussagen, deren Wahrheitswert vollständig von den Wahrheitswerten der Teilaussagen abhängt.

Die wichtigsten Junktoren

1. Negation (¬)

• Bedeutung: Verneinung einer Aussage
• Symbol: ¬ oder ~
• Wirkung: Der Wahrheitswert wird umgekehrt

Beispiel: Aussage A: „10 ist gerade“ (wahr) ⇒ ¬A: „10 ist nicht gerade“ (falsch)

2. Konjunktion (∧)

• Bedeutung: „Und“-Verknüpfung
• Symbol: ∧
• Wirkung: A ∧ B ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind

Beispiel: A: „36 ist durch 2 teilbar“ (wahr), B: „5 ist gerade“ (falsch) ⇒ A ∧ B: falsch

3. Disjunktion (∨)

• Bedeutung: „Oder“-Verknüpfung (inklusives Oder)
• Symbol: ∨
• Wirkung: A ∨ B ist wahr, wenn mindestens eine Aussage wahr ist

Beispiel: A: „Kino“, B: „Restaurant“ ⇒ A ∨ B bedeutet: „Kino oder Restaurant oder beides“

4. Implikation (⇒)

• Bedeutung: „Wenn A, dann B“
• Symbol: ⇒
• Wirkung: Nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist
• Hinweise:
  • A ist die hinreichende Bedingung für B
  • B ist die notwendige Bedingung für A
  • ¬(A ⇒ B) ist äquivalent zu A ∧ ¬B

Beispiel: A: „36 ist durch 2 teilbar“ (wahr), B: „5 ist gerade“ (falsch) ⇒ A ⇒ B: falsch

5. Äquivalenz (⇔)

• Bedeutung: „Genau dann A, wenn B“
• Symbol: ⇔
• Wirkung: A ⇔ B ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert besitzen
• Hinweis: A ⇔ B ist äquivalent zu (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

Beispiel: A: „x ist durch 2 teilbar“, B: „x ist gerade“ ⇒ A ⇔ B: wahr

6. Kontravalenz (exklusives Oder)

• Bedeutung: Genau eine der beiden Aussagen ist wahr
• Symbol: ∨̇ oder XOR
• Hinweis: Keine festgelegte Bindungspriorität – Klammern verwenden

Beispiel: A: wahr, B: falsch ⇒ A ∨̇ B: wahr

Bindungsreihenfolge (Priorität)

Junktoren haben eine hierarchische Bindungsstärke – analog zur Punkt-vor-Strich-Regel:

1. Negation (¬)
2. Konjunktion (∧)
3. Disjunktion (∨)
4. Implikation (⇒)
5. Äquivalenz (⇔)

Zur Klarheit ist die Verwendung von Klammern empfehlenswert.

Beispiel: ¬A ∧ B ⇒ B ∨ C ∧ A wird gelesen als:
((¬A) ∧ B) ⇒ (B ∨ (C ∧ A))

Junktoren in der Aussagen- und Prädikatenlogik

Junktoren sind die Kernelemente der Aussagenlogik. Sie ermöglichen den systematischen Aufbau komplexer Aussagen durch logische Verknüpfung. In der Prädikatenlogik treten sie zusammen mit Quantoren auf, um Aussagen mit Variablen zu formulieren und zu bewerten.