Abbildungen

Eine Abbildung (oder Funktion) beschreibt eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen. Formal: f: D → Z, wobei jedem x ∈ D genau ein f(x) ∈ Z zugeordnet wird.

Eigenschaften

• Eindeutigkeit: Jedes Argument hat genau einen Funktionswert.
• Vollständigkeit: Jedem Element aus D ist ein Wert in Z zugeordnet.

Schreibweise

f: D → Z : x ↦ f(x)

Bild und Urbild

• Bild: f(A) ist die Menge aller f(x) mit x ∈ A.
• Urbild: f⁻¹(B) ist die Menge aller x mit f(x) ∈ B.

Typen von Abbildungen

• Injektiv: Verschiedene Argumente ergeben verschiedene Werte.
• Surjektiv: Jeder Zielwert wird erreicht.
• Bijektiv: Injektiv und surjektiv – es gibt eine Umkehrabbildung.

Komposition

Verkettung von Abbildungen: (g ◦ f)(x) = g(f(x)). Reihenfolge ist entscheidend, Komposition ist assoziativ.

Inverse Abbildung

Nur bijektive Abbildungen besitzen eine eindeutige Umkehrabbildung f⁻¹.

Abbildungen und Mächtigkeit

• Gleichmächtigkeit: Es existiert eine Bijektion zwischen zwei Mengen.
• Anzahl Abbildungen: m^k für |A| = k und |B| = m.
• Anzahl Bijektionen: n! für |A| = |B| = n.
• Anzahl Injektionen: m! / (m-k)! für k ≤ m.

Weitere Begriffe

• Einschränkung: Abbildung auf Teilmenge A ⊆ D.
• Relation: Eine Abbildung ist eine spezielle Relation mit eindeutiger Zuordnung.