Standardbasis-Matrizen

Matrizen, die an genau einer Stelle den Eintrag 1 haben und an allen anderen Stellen Nullen, nennt man Standardbasis-Matrizen oder Eij-Matrizen. Sie sind fundamentale Bausteine in der linearen Algebra.

Definition und Notation

Eine m × n-Matrix A = (akl) mit genau einer 1 und sonst Nullen wird als Eij bezeichnet, wobei i die Zeile und j die Spalte angibt, in der die 1 steht. Die Einträge lassen sich mit dem Kronecker-Delta δ wie folgt schreiben:

(Eij)kl = δik · δjl

Beispiel: E23 ist eine Matrix mit einer 1 in der 2. Zeile, 3. Spalte.

Standardbasis des Matrizenraums

• Lineare Unabhängigkeit: Alle Eij-Matrizen sind linear unabhängig.
• Erzeugendensystem: Jede Matrix A = (aij) lässt sich als Linearkombination darstellen:

A = ∑i=1m ∑j=1n aij·Eij

• Dimension: Der Raum Mat(m × n, K) hat die Dimension m·n.

Verbindung zu Elementarmatrizen

Die Eij-Matrizen bilden die Grundlage für elementare Zeilen- und Spaltenoperationen:

• Multiplikation einer Zeile mit λ ≠ 0:

Si(λ) = 1n + (λ - 1)·Eii

• Zeilenaddition:

Qji(λ) = 1n + λ·Eji (mit i ≠ j)

• Zeilenvertauschung:

Pji = 1n - Eii - Ejj + Eji + Eij

Eigenschaften und Bedeutung

• Invertierbarkeit: Elementarmatrizen sind immer invertierbar.
• Erzeugung von Gl_n(K): Jede invertierbare Matrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen.
• Rang bleibt erhalten: Elementare Zeilenoperationen ändern den Rang nicht.
• rZSF: Jede Matrix lässt sich per Zeilenoperationen in reduzierte Zeilen-Stufen-Form bringen.
• Lösungsmenge bleibt konstant: Zeilenoperationen auf einer erweiterten Matrix verändern die Lösungsmenge nicht.
• Inverse berechnen: Aus (A | 1n) wird durch Zeilenoperationen (1n | A-1).

Diese Eij-Matrizen sind die atomaren Elemente des Matrizenraums – klein, präzise, grundlegend – und unverzichtbar für das Verständnis linearer Strukturen.