Was ist eine Aussage?

Eine Aussage ist ein sprachlicher Ausdruck, dem eindeutig ein Wahrheitswert („wahr“ oder „falsch“) zugewiesen werden kann. Es ist nicht notwendig, den Wahrheitswert zu kennen – entscheidend ist, dass er grundsätzlich bestimmbar ist. Dieses Prinzip heißt Zweiwertigkeit (tertium non datur): Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch – ein Drittes gibt es nicht.

Symbolische Darstellung von Wahrheitswerten

• wahr: W, w, 1
• falsch: F, f, 0

Was ist keine Aussage?

• Fragen: „Ist 5 + 7 = 12?“
• Befehle: „Geh in die Schule!“
• Unvollständige Ausdrücke: „5 + 7“ (kein Wahrheitswert)

Aussageformen (Prädikate)

Ausdrücke mit freien Variablen wie x ≥ 5 oder a² + b² = c² sind keine Aussagen, da ihr Wahrheitswert von der Belegung der Variablen abhängt. Erst wenn Variablen gebunden werden, etwa durch Quantoren, entstehen Aussagen:

• Allquantor (∀): „Für alle x gilt …“
• Existenzquantor (∃): „Es existiert mindestens ein x, sodass …“

Beispiel: Für alle reellen Zahlen x gilt: x² ≥ 0 ist eine Aussage.

Kontextabhängigkeit

Ob ein Ausdruck eine Aussage ist, hängt vom Kontext ab. Beispiel:

• „Die Decke ist blau.“ – keine Aussage ohne Bezug auf eine konkrete Decke.

Selbstbezügliche Paradoxien

Ein Ausdruck wie „Dieser Satz ist falsch.“ führt zu einem logischen Widerspruch, wenn man versucht, ihn zu bewerten. Solche paradoxen Aussagen sind nicht entscheidbar und gelten daher nicht als Aussagen im logischen Sinn.

Bedeutung in der Mathematik

Aussagen bilden das Fundament der Mathematik. Alle Sätze, Definitionen, Axiome und Beweise bestehen aus Aussagen. Ein Beweis ist eine logisch zusammenhängende Kette von Aussagen, die durch gültige Schlussregeln verknüpft sind. Der sichere Umgang mit Aussagen und deren Negationen ist ein zentrales Werkzeug für alle, die Mathematik betreiben.

Beispiele für Aussagen

• „Die Zahl 10 ist eine gerade Zahl.“ (wahr)
• „Die Summe der Winkel in jedem Dreieck beträgt 180°.“ (wahr)
• „Es gibt reelle Zahlen x, für die gilt: x² > 0.“ (wahr)
• „Alle Raben sind weiß.“ (falsch)
• „Die Zahl 5 ist durch 3 ohne Rest teilbar.“ (falsch)

Beispiele für Nicht-Aussagen

• „Ist 5 + 7 = 12?“ – Frage
• „Geh in die Schule!“ – Befehl
• „5 + 7“ – Term ohne Wahrheitswert
• „x ≥ 5“ – Aussageform mit freier Variable
• „Dieser Satz ist falsch.“ – Paradox, nicht entscheidbar