Was sind Quantoren?

Quantoren sind Symbole, die in der Aussagenlogik zur sogenannten Prädikatenlogik führen. Während Junktoren Aussagen logisch miteinander verbinden, bestimmen Quantoren, für welche Elemente einer Grundmenge eine Aussageform gültig ist. Sie sorgen für Präzision und Eindeutigkeit in der mathematischen Sprache.

Aussageform und Variablen

• Aussageform: Ein Ausdruck mit freien Variablen, dessen Wahrheitswert von der Belegung abhängt.
• Freie Variable: Noch nicht durch einen Quantor gebunden, z. B. in „x ≥ 5“.
• Gebundene Variable: Durch einen Quantor eingeführt, z. B. in „Für alle x gilt x ≥ 5“.

Quantoren wandeln Aussageformen in vollständige Aussagen mit eindeutigem Wahrheitswert.

1. Allquantor (∀)

• Symbol: ∀ (umgedrehtes A für „alle“)
• Bedeutung: Für alle Elemente der Grundmenge gilt eine Aussage
• Schreibweise: ∀x : A(x) oder ∀x ∈ M : A(x)

Beispiele:

• ∀x ∈ ℝ : x² ≥ 0 (wahr)
• ∀x : x ist ein Schwan ⇒ x ist weiß (falsch)
• ∀x : x ist ein Auto ⇒ (x fährt ∨ x steht)
• ∀x, y, z, n : n > 2 ⇒ xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ (Fermats letzter Satz)

2. Existenzquantor (∃)

• Symbol: ∃ (gespiegeltes E für „es existiert“)
• Bedeutung: Es gibt mindestens ein Element, für das die Aussage gilt
• Schreibweise: ∃x : A(x) oder ∃x ∈ M : A(x)

Beispiele:

• ∃x : x ∈ ℝ ∧ x · 0 = 5 (falsch)
• ∃x : x ist ein Mann ∧ x ist schön
• ∀x : x ist ein Mensch ⇒ ∃y : y ist Seelenverwandter von x

3. Eindeutiger Existenzquantor (∃!)

• Symbol: ∃! oder ∃1
• Bedeutung: Es existiert genau ein Element, für das die Aussage gilt
• Schreibweise: ∃!x : A(x) oder ∃!x ∈ M : A(x)

Beispiele:

• ∃x ∈ ℝ : x² = 4 (wahr, aber nicht eindeutig)
• ∃!x ∈ ℝ : x² = 4 (falsch, da 2 und –2 möglich sind)
• ∃!x ∈ ℕ : x² = 4 (wahr, da nur x = 2 passt)

Negation von Quantoren

Quantoren lassen sich mithilfe der De-Morgan-Regeln negieren:

• ¬(∀x : A(x)) ⇔ ∃x : ¬A(x)
• ¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : ¬A(x)

Die Negation eines Quantors ändert ihn – aus „für alle“ wird „es gibt“, und umgekehrt.

Mehrfachquantoren

Quantoren können verschachtelt werden. Dabei ist die Reihenfolge entscheidend:

• ∃x ∀y : A(x, y) ist logisch nicht gleich ∀y ∃x : A(x, y)

Die erste Variante behauptet, dass ein x existiert, das für alle y funktioniert. Die zweite sagt, dass für jedes y irgendein x existiert.

Quantoren als Fundament der Prädikatenlogik

Quantoren sind gemeinsam mit Junktoren das Fundament der Prädikatenlogik. Sie ermöglichen die präzise und überprüfbare Formulierung mathematischer Aussagen – weit entfernt vom sprachlichen Bauchgefühl des Alltags.