Bild und Urbild bei Abbildungen

In der Mathematik sind die Begriffe Bild und Urbild grundlegend, um die Wirkung einer Abbildung zu verstehen. Sie zeigen, welche Elemente im Ziel erreicht werden und welche Ursprünge dazu geführt haben.

Grundlage: Die Abbildung

Eine Abbildung f : D → Z ordnet jedem x ∈ D genau ein f(x) ∈ Z zu. Dabei heißt x das Argument, f(x) der Funktionswert oder das Bild von x.

Bild

• Bild eines Elements: f(x) ist das Bild von x. Beispiel: f(2) = 4 bei f(x) = x².
• Bild einer Teilmenge: f(A) = \{f(x) | x ∈ A\}. Beispiel: f({1,2}) = {1,4}.
• Wertemenge: Im(f) = f(D) ist die Menge aller erreichbaren Werte. Beispiel: f : R → R, f(x) = x² hat Im(f) = {x ∈ R | x ≥ 0}.

Urbild

• Urbild einer Teilmenge: f⁻¹(B) = \{x ∈ D | f(x) ∈ B\}. Beispiel: Urbild von {4} bei f(x) = x² ist {-2, 2}.
• Urbild eines Elements: f⁻¹(y) ist die Menge aller x mit f(x) = y. Beispiel: f⁻¹(25) = {-5, 5}.
• Wichtig: Das Urbild ist nicht mit der Umkehrfunktion f⁻¹ zu verwechseln.

Zusammenhang mit Injektivität und Bijektivität

• Injektiv: Jedes Bild hat höchstens ein Urbild.
• Bijektiv: Jedes Bild hat genau ein Urbild. Nur dann existiert eine Umkehrabbildung.