Elementare Zeilenumformungen und Matrizen

Elementare Zeilenumformungen sind grundlegende Operationen, die auf die Zeilen einer Matrix angewendet werden. Sie sind entscheidend, um Matrizen in bestimmte vereinfachte Formen zu überführen, wie die Zeilen-Stufen-Form (ZSF) oder die reduzierte Zeilen-Stufen-Form (rZSF). Dies ist ein Kernbestandteil des Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Typen elementarer Zeilenumformungen

1. Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null (λ)

• Beschreibung: Jede Komponente einer ausgewählten Zeile wird mit einem Skalar λ, der nicht null sein darf, multipliziert.
• Darstellung durch Elementarmatrix: Die Operation erfolgt über die Matrixmultiplikation von links mit der Elementarmatrix Si(λ), wobei Si(λ) = 1n + (λ - 1) · Eii.

2. Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

• Beschreibung: Das λ-fache einer Zeile (Quellzeile) wird zu einer anderen Zeile (Zielzeile) addiert, die Quellzeile bleibt unverändert.
• Darstellung durch Elementarmatrix: Dies erfolgt über Multiplikation mit Qji(λ) = 1n + λ · Eji für i ≠ j.

3. Vertauschung zweier Zeilen

• Beschreibung: Zwei Zeilen der Matrix werden vertauscht.
• Darstellung durch Elementarmatrix: Über die Permutationsmatrix Pji = 1n - Eii - Ejj + Eji + Eij.

Eigenschaften und Anwendungen

• Elementarmatrizen: Jede elementare Zeilenumformung entspricht einer linksseitigen Multiplikation mit einer Elementarmatrix. Die allgemeine lineare Gruppe GLn(K) wird von solchen Matrizen erzeugt.
• Invertierbarkeit: Alle Elementarmatrizen sind invertierbar. Ihre Inversen sind ebenfalls Elementarmatrizen desselben Typs.
• Rang- und Zeilenraumerhaltung: Der Rang einer Matrix bleibt durch elementare Zeilenumformungen erhalten. Ebenso der durch die Zeilen erzeugte Vektorraum.
• ZSF und rZSF: Jede Matrix kann mit endlich vielen Zeilenoperationen in eine eindeutige reduzierte Zeilen-Stufen-Form überführt werden.
• Gauß-Algorithmus: Nutzt Zeilenumformungen zur Vereinfachung und Lösung linearer Gleichungssysteme.
• Inversion: Die Inverse einer Matrix A erhält man, indem man (A | 1n) mittels Zeilenumformungen in (1n | A-1) überführt.
• Unterraumbasis: Zeilenoperationen verändern den Zeilenraum nicht. In ZSF überführt, bilden die Nicht-Null-Zeilen eine Basis.