Erweiterte Rechenregeln

Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation ist mit der Matrizenmultiplikation assoziativ und kommutativ:

λ·(A·C) = (λ·A)·C = A·(λ·C)

Distributivgesetze

Die Matrizenmultiplikation ist distributiv gegenüber der Matrizenaddition:

A·(C + D) = A·C + A·D
(A + B)·C = A·C + B·C

Transponierung

Die Transponierte eines Matrixprodukts ergibt das Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge:

(A·B)t = Bt·At

Inverse

(A·B)-1 = B-1·A-1
(A-1)-1 = A
(At)-1 = (A-1)t

Determinanten

det(A·B) = det(A)·det(B)
det(A) = det(At)

Einheitsmatrix

Für jede n×n-Matrix A gilt:

A·I = I·A = A

Rang

rang(B·A) ≤ min{rang(A), rang(B)}
rang(A) = rang(At)

Ähnliche Matrizen

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn:

B = T-1·A·T

Sie haben dieselbe Determinante, Spur, Eigenwerte und Minimalpolynome.

Hermitesche Konjugation

A* = ‾At
A ist hermitesch ⇔ A = A*
A ist normal ⇔ A*·A = A·A*

Spektralsatz

Für jede symmetrische oder hermitesche Matrix A existiert eine orthogonale oder unitäre Matrix T, sodass:

T*·A·T = Diagonalmatrix

Allgemein

(A·B)·C = A·(B·C)
A·B ≠ B·A (im Allgemeinen)