Komposition von Abbildungen

Die Komposition (auch Verkettung oder Verknüpfung genannt) ist eine Operation, bei der zwei Abbildungen nacheinander ausgeführt werden, um eine neue Abbildung zu erhalten.

Definition und Notation

Seien f : A → B und g : B → C zwei Abbildungen. Dann ist g ◦ f : A → C definiert durch:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Man liest dies als „g nach f“. Zuerst wird f auf x angewendet, danach g auf das Ergebnis.

Eigenschaften

• Assoziativität: Für f : M → N, g : N → P und h : P → Q gilt: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).
• Nicht-Kommutativität: Im Allgemeinen gilt f ◦ g ≠ g ◦ f.

Beispiel

Seien f(x) = x² und g(x) = x + 1.

• (g ◦ f)(x) = x² + 1
• (f ◦ g)(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1

Da (g ◦ f)(1) = 2 und (f ◦ g)(1) = 4, sind die Abbildungen verschieden.

Zusammenhang mit Abbildungseigenschaften

• Injektiv: Wenn f und g injektiv sind, ist auch g ◦ f injektiv.
• Surjektiv: Wenn f und g surjektiv sind, ist auch g ◦ f surjektiv.
• Bijektiv: Wenn f und g bijektiv sind, ist auch g ◦ f bijektiv.

Komposition bei endlichen Mengen

Seien A = {a, b, c, d}, B = {x, y, w}, α : A → B mit α(a)=y, α(b)=w, α(c)=y, α(d)=x, und β : B → N mit β(x)=2, β(y)=5, β(w)=7.

Dann ist β ◦ α definiert und ergibt:

• (β ◦ α)(a) = 5
• (β ◦ α)(b) = 7
• (β ◦ α)(c) = 5
• (β ◦ α)(d) = 2

β ◦ α ist weder injektiv noch surjektiv.

Weitere Zusammenhänge

• Komposition ist eine binäre Verknüpfung auf der Menge aller Abbildungen f : R → R.
• In der Gruppentheorie bildet die Komposition die Verknüpfung in der symmetrischen Gruppe Sym(M).
• Matrixmultiplikation basiert auf der Komposition linearer Abbildungen und ist deshalb assoziativ.