Negation von All- und Existenzaussagen

Die Negation quantifizierter Aussagen ist ein zentrales Werkzeug der Prädikatenlogik. Sie folgt festen Umformungsregeln, die auf den De Morganschen Gesetzen basieren. Dadurch werden selbst komplexe Aussagen in logischer Sprache präzise verneinbar.

Allgemeines Vorgehen

1. Aussage in formale Sprache übersetzen
2. Umformungsregeln anwenden
3. Optional: Zurückübersetzung in natürliche Sprache

Liegt die Aussage bereits in formaler Sprache vor, entfallen Schritte 1 und 3.

Negation des Allquantors (∀)

Eine Aussage der Form ∀x : A(x) wird negiert zu ∃x : ¬A(x). Das bedeutet: "Es gibt ein x, für das A(x) nicht gilt".

Beispiele:

• Aussage: ∀x ∈ ℝ : x² ≥ 0
  Negation: ∃x ∈ ℝ : x² < 0
• Aussage: Alle Schafe sind schwarz.
  Negation: Es gibt Schafe, die nicht schwarz sind.
• Aussage: ∀x ∈ M ∃y ∈ M : y liebt x
  Negation: ∃x ∈ M ∀y ∈ M : ¬(y liebt x)

Komplexes Beispiel mit ε-Ν Definition

Aussage:
∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ : n ≥ N ⇒ |a - a(n)| < ε

Negation Schritt für Schritt:

1. ¬(∀ε > 0 ∃N ∀n : n ≥ N ⇒ |a - a(n)| < ε)
2. ∃ε > 0 : ¬(∃N ∀n : n ≥ N ⇒ |a - a(n)| < ε)
3. ∃ε > 0 ∀N : ¬(∀n : n ≥ N ⇒ |a - a(n)| < ε)
4. ∃ε > 0 ∀N ∃n : ¬(n ≥ N ⇒ |a - a(n)| < ε)
5. ∃ε > 0 ∀N ∃n : n ≥ N ∧ |a - a(n)| ≥ ε

Natürliche Sprache:
Es gibt ein ε > 0, sodass für alle N ein n ≥ N existiert mit |a - a(n)| ≥ ε.

Negation des Existenzquantors (∃)

Eine Aussage der Form ∃x : A(x) wird negiert zu ∀x : ¬A(x). Das bedeutet: "Für alle x gilt: A(x) nicht".

Beispiele:

• Aussage: ∃y ∈ ℝ : y > 7
  Negation: ∀y ∈ ℝ : y ≤ 7
• Aussage: ∃x : x · 0 = 5
  Negation: ∀x : x · 0 ≠ 5
• Aussage: Es gibt schöne Männer.
  Negation: Alle Männer sind nicht schön.

Zusammenfassung der Umformungsregeln

Diese Regeln garantieren logische Äquivalenz. Die linke und rechte Seite sind genau dann wahr, wenn die jeweils andere es auch ist.