Zeilenäquivalenz

Der Begriff Zeilenäquivalenz beschreibt eine zentrale Beziehung zwischen Matrizen der linearen Algebra. Zwei Matrizen sind zeilenäquivalent, wenn die eine aus der anderen durch eine endliche Abfolge von elementaren Zeilenumformungen hervorgeht.

Definition

Formal gilt: Zwei Matrizen A und B sind zeilenäquivalent, wenn es Elementarmatrizen E_1, ..., E_k gibt mit B = E_k · ... · E_1 · A.

Elementare Zeilenumformungen

• Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ ≠ 0:
  S_i(λ) = 1_n + (λ - 1) · E_{ii}
• Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen:
  Q_{ji}(λ) = 1_n + λ · E_{ji}
• Vertauschung zweier Zeilen:
  P_{ji} = 1_n - E_{ii} - E_{jj} + E_{ji} + E_{ij}

Eigenschaften der Zeilenäquivalenz

• Reflexivität: Jede Matrix ist zu sich selbst zeilenäquivalent.
• Symmetrie: Die Inverse jeder Elementarmatrix ist ebenfalls eine Elementarmatrix.
• Transitivität: Die Verkettung mehrerer Zeilenumformungen ist wieder eine Zeilenumformung.

Bedeutung und Anwendungen

• Rang-Erhaltung: Zeilenäquivalente Matrizen besitzen denselben Rang.
• Gleiche Lösungsmenge: Zeilenäquivalente Matrizen definieren äquivalente lineare Gleichungssysteme.
• Reduzierte Zeilen-Stufen-Form: Jede Matrix ist zeilenäquivalent zu einer eindeutig bestimmten rZSF, die als Repräsentant ihrer Äquivalenzklasse dient.