Verknüpfungen

In der Mathematik bezeichnet eine Verknüpfung die Zuordnung eines oder mehrerer Elemente einer Menge zu einem neuen Element derselben oder einer anderen Menge. Sie ist eine spezielle Form der Abbildung und spielt eine zentrale Rolle in der Algebra.

Definition

Eine n-stellige Verknüpfung auf einer Menge A ist eine Abbildung von Aⁿ nach A. Das bedeutet, sie nimmt n Elemente aus A und erzeugt daraus ein neues Element derselben Menge. Diese Eigenschaft nennt man Abgeschlossenheit.

Beispiele sind die Addition, Multiplikation und Potenzbildung auf ℝ. Auch Funktionen wie x ↦ x², x ↦ |x| oder x ↦ sin(x) sind einstellige Verknüpfungen auf ℝ. Mengenoperationen wie Vereinigung und Durchschnitt sind Verknüpfungen auf der Potenzmenge einer Grundmenge.

Arten von Verknüpfungen

• Binär: A × A → A, z.B. (x, y) ↦ x + y.
• Einstellig: A → A, z.B. x ↦ x².
• Innen vs. Außen: Innere Verknüpfung: M × M → M, äußere: z.B. N × M → M.

Eigenschaften binärer Verknüpfungen

• Kommutativität: x ◦ y = y ◦ x für alle x, y. Beispiel: Addition auf ℝ.
• Assoziativität: x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z. Beispiel: Addition auf ℝ.
• Neutrales Element: Ein e ∈ A mit e ◦ x = x und x ◦ e = x. Beispiel: 0 bei Addition.
• Inverses Element: Für x ∈ A existiert x' mit x ◦ x' = e.

Verknüpfungen in der Algebra

• Mengenoperationen: Durchschnitt, Vereinigung, Differenz sind Verknüpfungen.
• Symmetrische Differenz: A △ B enthält alle Elemente, die in genau einer der beiden Mengen enthalten sind.

Algebraische Strukturen

• Halbgruppe: Assoziative Verknüpfung auf einer Menge.
• Monoid: Halbgruppe mit neutralem Element.
• Gruppe: Monoid mit inversen Elementen.
• Ring/Körper: Strukturen mit mehreren Verknüpfungen (z.B. Addition und Multiplikation), die spezielle Gesetze erfüllen.