Matrizenmultiplikation – weiterführende Regeln

Die Matrizenmultiplikation ist eine zentrale Operation in der linearen Algebra, um zwei Matrizen zu einer neuen Matrix zu verknüpfen.

Voraussetzungen

Damit zwei Matrizen A und B miteinander multiplizierbar sind, muss die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B sein. Ist A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix, dann ist das Produkt A·B definiert und ergibt eine m×p-Matrix.

Berechnung eines Eintrags

Jeder Eintrag cik in der Produktmatrix ergibt sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B:

cik = ∑j=1n aij · bjk

Rechenregeln und Eigenschaften

• Assoziativität: A·(B·C) = (A·B)·C
• Nicht-Kommutativität: A·B ≠ B·A
• Distributivgesetze:
  • A·(C + D) = A·C + A·D
  • (A + B)·C = A·C + B·C
• Skalarmultiplikation: λ·(A·C) = (λ·A)·C = A·(λ·C)
• Transponierte: (A·B)^t = B^t·A^t
• Einheitsmatrix: Für jede n×n-Matrix A gilt: A·I = I·A = A
• Inverse Matrix: A·A^-1 = A^-1·A = I
• Inverse eines Produkts: (A·B)^-1 = B^-1·A^-1
• Determinantenregel: det(A·B) = det(A)·det(B)

Lineare Abbildungen

Matrizen beschreiben lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Die Matrizenmultiplikation entspricht der Komposition solcher Abbildungen: Wenn A zu f_A und B zu f_B gehört, so entspricht A·B der Verkettung f_A∘f_B.