Was ist ein mathematischer Beweis?
Ein Beweis in der Mathematik ist eine fehlerfreie Herleitung der Richtigkeit einer Aussage. Er zeigt, dass eine Aussage wahr ist, indem sie durch logische Schlussfolgerungen auf bereits bekannte wahre Aussagen zurückgeführt wird – beispielsweise auf Axiome oder bewiesene Sätze.
Der Beweis ist nicht der kreative Weg zur Lösung, sondern das nachvollziehbare, logische Gerüst, das den Wahrheitsanspruch der Aussage absichert.
Warum braucht Mathematik Beweise?
Natürliche Sprache ist voller Zweideutigkeiten – Mathematik braucht dagegen Klarheit. Ein formaler Beweis verhindert Missverständnisse und liefert objektive Sicherheit über die Wahrheit mathematischer Aussagen.
Grundelemente eines Beweises
- Aussagen und Aussageformen: Aussagen haben einen festen Wahrheitswert (wahr oder falsch), Aussageformen enthalten freie Variablen und sind erst durch Belegung entscheidbar.
- Logische Junktoren: Symbole wie "∧", "∨", "⇒", "⇔", "¬", mit eindeutig definierten Bedeutungen.
- Quantoren: "∀" (für alle) und "∃" (es existiert mindestens ein), die festlegen, auf welche Objekte sich Aussagen beziehen.
- Formale Schreibweise: Ermöglicht saubere logische Umformungen, auch zur Negation.
Beweismethoden
1. Direkter Beweis
Man beginnt mit den Voraussetzungen und leitet die Aussage logisch her.
Beispiel: Gegeben ist: "Wenn k = x + y, dann ist (k/2)2 ≥ xy." Durch Umformung wie (x - y)2 ≥ 0 leitet man die Ungleichung her.
2. Indirekter Beweis (Widerspruch)
Man nimmt an, die Aussage sei falsch, leitet daraus einen Widerspruch ab – und folgert: Die Aussage muss wahr sein.
Beispiel: Cantors Diagonalargument zeigt, dass (0,1) nicht abzählbar ist, indem man eine vermeintlich vollständige Liste konstruiert – und dann ein Element, das nicht enthalten ist.
3. Beweis durch Kontraposition
Nutze: "A ⇒ B" ist äquivalent zu "¬B ⇒ ¬A". Oft einfacher zu zeigen.
Beispiel: Zeige: "Wenn 2√n ungerade ist, dann ist n ungerade." (Kontraposition zu: "Wenn n gerade, dann ist 2√n gerade")
4. Vollständige Induktion
- Induktionsanfang: Zeige, dass Aussage A(n) für den Startwert (z.B. n = 1) gilt.
- Induktionsschritt: Zeige: Wenn A(k) gilt, dann gilt auch A(k+1).
Beispiel: Beweise: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 für alle n ∈ ℕ.
- IA: Für n = 1 stimmt es.
- IS: Angenommen, es gilt für k: 1+...+k = k(k+1)/2
- Dann: 1+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2
5. Beweis durch Fallunterscheidung
Die Aussage wird in mehrere Fälle unterteilt. Jeder Fall wird einzeln bewiesen. Wichtig: Die Fälle müssen vollständig sein!
Beispiel: Beweise etwas für gerade und ungerade Zahlen getrennt.
Am Ende steht: q.e.d. – quod erat demonstrandum – was zu beweisen war.