Elementarmatrizen – das Werkzeug der Transformation

Elementarmatrizen sind das Rückgrat der Matrixmanipulation. Sie entstehen aus der Einheitsmatrix 1_n durch eine einzige elementare Zeilenumformung – und sind genau deshalb so mächtig. Jede von ihnen steht für eine konkrete, reversible Aktion am Körper einer Matrix. Sie sind nicht nur rechentechnische Hilfsmittel, sondern fundamentale Akteure in der Theaterbühne der linearen Algebra.

Die drei Archetypen der Elementarmatrix

1. Skalierung einer Zeile (S_i(λ))
Multiplikation der i-ten Zeile mit einem Skalar λ ≠ 0:

Si(λ) = 1n + (λ - 1) · Eii

→ Multipliziert man A von links mit S_i(λ), so wird die i-te Zeile von A skaliert.

2. Zeilenaddition (Q_ji(λ))
Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile (i ≠ j):

Qji(λ) = 1n + λ · Eji

→ Q_ji(λ) · A addiert das λ-fache von Zeile j zu Zeile i.

3. Zeilenvertauschung (P_ji)
Vertauscht die Zeilen i und j:

Pji = 1n - Eii - Ejj + Eji + Eij

→ P_ji · A kehrt die Ordnung zweier Zeilen um – fundamental in Pivot-Manövern.

Wirkung und Eigenschaften

• Linksmultiplikation mit Elementarmatrizen: bewirkt Zeilenumformung
• Rechtsmultiplikation mit Elementarmatrizen: entspricht Spaltenumformung

Tieferliegende Struktur

1. Invertierbarkeit
Alle Elementarmatrizen sind umkehrbar – ihre Inversen sind ebenfalls Elementarmatrizen desselben Typs:

Si(λ)-1 = Si(1/λ)
Qji(λ)-1 = Qji(-λ)
Pji-1 = Pji

2. Erzeugung der Gruppe GL_n(K)
Jede invertierbare n×n-Matrix über einem Körper K lässt sich als Produkt endlich vieler Elementarmatrizen schreiben.

Anwendungen: vom Algorithmus zur Struktur

• Gauß-Algorithmus: elementare Zeilenoperationen bringen jede Matrix in (r)ZSF.
• Rangbestimmung: Rang bleibt unter Zeilenoperationen erhalten.
• Lösungsstruktur: Die Lösungsmenge bleibt durch Zeilenumformung erhalten.
• Inverse berechnen: (A | 1_n) → (1_n | A^-1) durch gezielte Operationen.

Fazit:
Elementarmatrizen sind keine Nebendarsteller – sie sind die formalen Agenten der Strukturveränderung, die Architekten der Transformation. Wer sie beherrscht, begreift das Herz der linearen Algebra – nicht nur rechnerisch, sondern in ihrer inneren Symmetrie.