Menge

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente. Von jedem Objekt muss entscheidbar sein, ob es zur Menge gehört oder nicht.

Darstellung von Mengen

• Aufzählend: z.B. {1, 2, 3}. Reihenfolge und Mehrfachnennung sind egal.
• Mit Eigenschaft: z.B. {x ∈ ℕ | x < 5}.

Grundlegende Symbole

• x ∈ M: x ist Element von M
• x ∉ M: x ist kein Element von M

Eigenschaften von Mengen

• Extensionalität: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
• Leere Menge (∅): enthält kein Element, ist Teilmenge jeder Menge.

Zahlenmengen

Wichtige Zahlenbereiche als Mengen: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

Mengenbeziehungen

• A ⊆ B: A ist Teilmenge von B
• A = B: A und B haben dieselben Elemente
• A ∩ B = ∅: A und B sind disjunkt
• Zerlegung: Disjunkte, nichtleere Teilmengen, deren Vereinigung die Ursprungsmenge ergibt.

Mengenoperationen

• Vereinigung (A ∪ B): Alle Elemente aus A oder B
• Schnitt (A ∩ B): Elemente, die in A und B sind
• Differenz (A \ B): Elemente in A, aber nicht in B
• Potenzmenge: Menge aller Teilmengen
• Kartesisches Produkt (A × B): Menge aller geordneten Paare

Rechenregeln

• Kommutativ: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
• Assoziativ: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Distributiv: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• De Morgan: ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B

Mächtigkeit (Kardinalität)

• |M| = Anzahl der Elemente in M
• Abzählbar unendlich: z.B. ℕ, ℤ, ℚ
• Überabzählbar: z.B. ℝ, ℂ
• ℵ₀ (Aleph-Null): Kardinalität der natürlichen Zahlen