Körper

Ein Körper ist eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge K mit zwei Verknüpfungen (Addition + und Multiplikation ·), die bestimmte Axiome erfüllen.

Definition

Ein Tripel (K, +, ·) ist ein Körper, wenn:

• (K, +) eine abelsche Gruppe ist: assoziativ, kommutativ, mit neutralem Element 0 und Inversen -x.
• (K\{0}, ·) eine abelsche Gruppe ist: assoziativ, kommutativ, mit Einselement 1 ≠ 0 und Inversen x⁻¹.
• Distributivgesetz: Für alle x, y, z ∈ K gilt: x · (y + z) = x·y + x·z.

Beispiele

• ℚ, ℝ, ℂ mit gewöhnlicher Addition und Multiplikation.
• Endliche Körper 𝔽ₚ mit p prim, definiert durch Modulo-Arithmetik.

Eigenschaften

• 0 ≠ 1
• Keine Nullteiler: Aus rs = 0 folgt r = 0 oder s = 0.
• Kürzen: a·x = a·y und a ≠ 0 ⇒ x = y.

Teilkörper

Eine Teilmenge L ⊆ K ist ein Teilkörper, wenn L mit den Operationen von K selbst ein Körper ist. Beispiel: ℚ ist Teilkörper von ℝ.

Charakteristik

Die Charakteristik eines Körpers ist die kleinste positive Zahl n mit n·1 = 0. Gibt es kein solches n, ist die Charakteristik 0. Sie ist stets 0 oder eine Primzahl.

Geordnete Körper

Ein Körper K ist geordnet, wenn eine Totalordnung ≤ existiert, für die gilt:

• x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
• x ≤ y und z ≥ 0 ⇒ x·z ≤ y·z

ℚ und ℝ sind geordnete Körper. ℂ kann nicht geordnet werden.

Quotientenkörper

Jeder Integritätsring kann zu einem Quotientenkörper erweitert werden. Beispiel: ℚ ist der Quotientenkörper von ℤ.

Körper und Vektorräume

Ein Vektorraum über einem Körper K ist eine abelsche Gruppe mit skalarem Vielfachen aus K. Der Körper selbst ist stets ein K-Vektorraum über sich selbst.