Matrizenaddition

Die Matrizenaddition ist eine grundlegende Operation in der linearen Algebra, bei der zwei Matrizen zu einer neuen Matrix kombiniert werden.

Definition einer Matrix

Eine m×n-Matrix über einem Körper K ist ein rechteckiges Schema A mit Einträgen aus K. Die Menge aller m×n-Matrizen über K wird mit Mat(m×n,K) bezeichnet.

Addition von Matrizen

Sind zwei Matrizen A = (aᵢⱼ) und B = (bᵢⱼ) in Mat(m×n,K) gegeben, also Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen m und Spalten n, so ist ihre Summe A + B definiert als die Matrix, deren Einträge (aᵢⱼ + bᵢⱼ) sind. Die Addition erfolgt elementweise:

A + B := (aᵢⱼ + bᵢⱼ)

Beispiel:
Gegeben seien die Matrizen:

A = (1 0 2 / 3 1 2)
B = (3 2 1 / 0 4 5)

Dann ist ihre Summe:

A + B = (4 2 3 / 3 5 7)

Eigenschaften der Matrizenaddition

Die Addition von Matrizen definiert auf Mat(m×n,K) eine zweistellige Operation. Bezüglich dieser Addition bildet Mat(m×n,K) eine abelsche Gruppe (Mat(m×n,K),+):

• Assoziativität: (A + B) + C = A + (B + C) für alle A, B, C ∈ Mat(m×n,K).
• Kommutativität: A + B = B + A für alle A, B ∈ Mat(m×n,K).
• Neutrales Element: Die Nullmatrix 0 hat nur Nulleinträge. Für jede Matrix A gilt: A + 0 = A.
• Inverses Element: Für jede Matrix A existiert eine Matrix -A, deren Einträge die Negative der Einträge von A sind. Es gilt: A + (-A) = 0.

Skalarmultiplikation und Vektorräume

Zusätzlich zur Matrizenaddition kann eine Matrix auch mit einem Skalar λ ∈ K multipliziert werden: λ · A := (λaᵢⱼ).

Die Menge Mat(m×n,K) bildet mit der Addition und der Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum, der alle Vektorraumaxiome erfüllt.