Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation ist eine fundamentale Operation in der linearen Algebra. Sie erlaubt es, Elemente eines Vektorraums (Vektoren) mit Elementen eines Körpers (Skalaren) zu multiplizieren. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor im selben Vektorraum – dies bezeichnet man als Abgeschlossenheit.

Definition

Gegeben sei ein Körper K und ein Vektorraum V über K. Die Skalarmultiplikation ist eine äußere Verknüpfung · : K × V → V, wobei (λ, v) ↦ λ·v.

Beispiele

• Vektoren in Kⁿ: Ist x = (x₁, x₂, ..., xₙ)ᵗ und λ ∈ K, dann λ·x := (λx₁, λx₂, ..., λxₙ)ᵗ.
• Matrizen: Für eine m×n-Matrix A = (aᵢⱼ) und λ ∈ K gilt: λ·A := (λaᵢⱼ).
• Funktionen: Für f: M → V und λ ∈ K ist (λ·f)(x) := λ·f(x) für alle x ∈ M.
• Polynome: Ist f = ∑ₖ aₖ·tᵏ, dann λ·f := ∑ₖ (λ·aₖ)·tᵏ.

Eigenschaften der Skalarmultiplikation

• Assoziativität: (λ·µ)·v = λ·(µ·v)
• Distributivität über Skalare: (λ + µ)·v = λ·v + µ·v
• Distributivität über Vektoren: λ·(v + w) = λ·v + λ·w
• Neutrales Element: 1·v = v

Diese Axiome sichern die lineare Struktur des Vektorraums. Jeder Unterraum eines K-Vektorraums ist ebenfalls abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation und bildet somit selbst einen K-Vektorraum.